題意#
你有一個長度為 \( n \) 的陣列，陣列裡面的每一個數字都在 \( 1 \) 到 \( m \) 之間。
而且這個陣列有一個特殊的條件：相鄰兩個數字的絕對差值最大只能是 \( 1 \)（也就是說，下一個數字只能維持原樣、加一、或減一）。
現在陣列中有一些數字遺失了（用 0 表示），你的任務是計算出：在滿足條件的情況下，總共有幾種可能的合法陣列表述方式？答案要對 \( 10^9 + 7 \) 取模。
思路#
這種題目很明顯就是在暗示我們用動態規劃（DP）來暴力記錄每一種狀態的可能數量。
我們可以定義一個二維狀態 dp[i][j]，代表「填到陣列第 i 格時，如果這一格我們填入數字 j，那總共有多少種合法的填法」。
根據題目的相鄰條件限制，這一格如果想填 j，那它的上一格（也就是第 i-1 格）只能是 j-1、j 或者是 j+1。
所以狀態轉移方程式非常直觀：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j] + dp[i-1][j+1]
實作上有個小細節：因為計算第 i 格的資訊，永遠只需要用到第 i-1 格的資料，更前面的狀態其實都可以拋棄不用。所以我們不用真的開出 \( n \times (m+2) \) 這麼巨大的二維陣列（會很吃記憶體），只要開一個 2 列的陣列 dp[2][m+2]，讓這兩個指標輪流交替使用，也就是所謂的「滾動陣列（Rolling Array）」，就能把空間複雜度壓在極低的水準。
程式碼#
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define INF LONG_LONG_MAX/1000
#define WA() cin.tie(0)->sync_with_stdio(0)
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define int long long
#define PII pair<int, int>
int p = 1e9+7;
/*
dp[i][j] = 第 i 格湊成 j 的可能數
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j] + dp[i-1][j+1]
*/
signed main() { WA();
int n, m; cin >> n >> m;
vector<int> v(n);
// 開 2 列的 DP 陣列來做滾動優化，m+2 是為了防止 j-1 和 j+1 吃到邊界
vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(m+2));
for (auto &i : v) cin >> i;
// 初始化第一格：如果是已知數字 v[0]，就只有該數字的方法數為 1
// 如果是 0（未知），表示 1 到 m 都可以填，全部設為 1
if (v[0]) dp[1][v[0]] = 1;
else for (int i = 1; i <= m; i++) dp[1][i] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 利用 dp[0] 儲存上一輪的結果
dp[0] = dp[1];
// 把當前輪 dp[1] 全部歸零重新計算
fill(all(dp[1]), 0);
for (int j = 1; j <= m; j++) {
// 如果這一格已經有指定的數字，且我們現在嘗試填的 j 跟指定數字不同，直接跳過這條路
if (v[i] && v[i] != j) continue;
// 轉移方程式：從前一格合法的三個相鄰數字狀態累加
dp[1][j] = (dp[0][j-1] + dp[0][j] + dp[0][j+1]) % p;
}
}
// 把最後一格（dp[1]）的所有可能的結尾數字的方法數加總
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) sum = (sum + dp[1][i]) % p;
cout << sum << '\n';
}
