題意#
這題是上一題 Exponentiation 的進階版。
給你三個數字 \(a, b, c\)，求出 \(a^{b^c} \pmod{10^9+7}\) 的結果。
思路#
如果直接算 \(b^c\)，數字絕對會大到無法儲存。
而且我們也不能直接對指數 \(b^c\) 取模 \(10^9+7\)，因為指數運算不符合一般的同餘律。
這時候就必須搬出「費馬小定理 (Fermat’s Little Theorem)」。
費馬小定理說，如果 \(p\) 是質數，而且 \(a\) 不是 \(p\) 的倍數，那麼 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)。
這意味著，在底數為 \(a\) 且模數為質數 \(p\) 的情況下，指數的增長是每 \(p-1\) 為一個循環。
由於題目給的模數 \(10^9+7\) 剛好是一個質數。
所以我們在運算指數 \(b^c\) 的時候，其實只需要對 \(10^9+6\) 取模就行了。
也就是說，\(a^{b^c} \pmod{10^9+7}\) 會等於 \(a^{(b^c \pmod{10^9+6})} \pmod{10^9+7}\)。
實作上一樣用快速冪，只不過現在快速冪函式可以接收「自訂模數」。
我們先算出 \(b^c \pmod{10^9+6}\) 的結果，再把它當成新的指數。
最後拿去算底數為 \(a\)、對 \(10^9+7\) 取模的快速冪即可。
程式碼#
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define INF LONG_LONG_MAX/1000
#define WA() cin.tie(0)->sync_with_stdio(0)
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define int long long
#define PII pair<int, int>
int p = 1e9+7; // 基礎模數
// 可自訂模數 m 的快速冪函式
int f(int n, int x, int m) {
int ret = 1;
for (; x; x>>=1, n = n*n%m) {
if (x&1) ret = ret*n%m;
}
return ret;
}
signed main() { WA();
int t;
// 讀取多筆測資
for (cin >> t; t--;) {
int a, b, c; cin >> a >> b >> c;
// 先計算指數部分：b 的 c 次方，對 p-1 (也就是 10^9+6) 取模
// 再計算底數部分：a 的 (剛算出來的結果) 次方，對 p (也就是 10^9+7) 取模
cout << f(a, f(b, c, p-1), p) << '\n';
}
}
